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    title: [概率论],
    subtitle: [Subtitle],
    author: [数学主义],
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    institution: [Institution],
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)
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#outline-slide()

= 数学期望

== 概念
<概念>
随机变量的数学期望(平均值)是用来代表这个随机变量的数值,
它在粗略估算中可以替代随机变量本身.

南宁市2024年的数据:

- 人均地区生产总值66940元

- 城镇居民人均可支配收入46381元

- 人均体育场地面积达2.68平方米

- 人均综合用水量430.7立方米

广西2024年的数据:

- 人均地区生产总值57071元

- 城镇居民人均可支配收入43044元

- 城镇居民人均消费支出26084元

- 人均用水量500立方米

== 离散情形的定义
<离散情形的定义>
设离散随机变量$X : Omega arrow.r bb(R)$的分布列为
$ p \( x_i \) = P \( X = x_i \) \, quad i = 1 \, 2 \, dots.h.c \, n \, dots.h.c . $
如果(这就是说无穷级数绝对收敛)
$ sum_(i = 1)^oo \| x_i \| dot.op p \( x_i \) < oo \, $ 就说
$ E \( X \) colon.eq sum_(i = 1)^oo x_i dot.op p \( x_i \) $
是随机变量$X$的#strong[数学期望] (expectation)或#strong[平均值] (mean).

== 离散情形的例子
<离散情形的例子>
1995年3月28日，公牛客场挑战尼克斯。赛后，温宁顿说："我和乔丹合砍57分，为球队确保了胜利。"

用$1$表示温宁顿, 用$2$表示乔丹,
用$X : { 1 \, 2 } arrow.r bb(R)$表示球员的进球数. 两个球员平分概率,
分布列为

#figure(
  align(center)[#table(
    columns: 3,
    align: (center,center,center,),
    table.header([$X$], [$2$], [$55$],),
    table.hline(),
    [$P$], [$0.5$], [$0.5$],
  )]
  , kind: table
  )

每个球员进球数的数学期望为
$ E \( X \) = 2 times 0.5 + 55 times 0.5 = 28.5 $

== 连续情形的定义
<连续情形的定义>
设连续随机变量$X : Omega arrow.r bb(R)$的密度函数为$p \( x \)$. 如果
$ integral_(- oo)^oo \| x \| dot.op p \( x \) d x < oo \, $ 就说
$ E \( X \) colon.eq integral_(- oo)^oo x dot.op p \( x \) d x $
是随机变量$X$的#strong[数学期望]或#strong[平均值].

== 连续情形的例子
<连续情形的例子>
#block[
设随机变量$X$服从区间$\[ a \, b \]$上的均匀分布, 求$E \( X \)$.

]
解: 因为$X$的密度函数是
$ p \( x \) = cases(delim: "{", frac(1, b - a) \, & a lt.eq x lt.eq b \,, 0 \, & upright("其它") \,) $
所以
$ E \( X \) = integral_(- oo)^oo x dot.op p \( x \) d x = integral_a^b frac(x, b - a) d x = frac(x^2, 2 \( b - a \))\|_a^b = frac(a + b, 2) . $

== 注意点
<注意点>
- 数学期望简称为#strong[期望]

- 数学期望与平均值是同一个概念

- 数学期望是一种加权平均

== 随机变量函数的数学期望
<随机变量函数的数学期望>
- 设离散随机变量$X : Omega arrow.r bb(R)$的分布列是$p \( x_i \)$

- 任给函数$g : bb(R) arrow.r bb(R)$,
  则$g \( X \) colon.eq g compose X : Omega arrow.r bb(R)$仍然是离散随机变量

- 把$x_i$想象成球员进球数,
  把$p \( x_i \)$想象成进球数为$x_i$的球员在全体球员中所占的比例

- 把$g \( x_i \)$想象成原本进球数为$x_i$的球员在经过训练之后的进球数$arrow.l$来自某教练的白日梦

- 因此, $g \( X \)$的数学期望是新的人均进球数, 亦即
  $ E \[ g \( X \) \] = sum_i g \( x_i \) dot.op p \( x_i \) $

---

- 设连续随机变量$X : Omega arrow.r bb(R)$的密度函数是$p \( x \)$

- 任给函数$g : bb(R) arrow.r bb(R)$,
  则$g \( X \) colon.eq g compose X : Omega arrow.r bb(R)$仍然是连续随机变量

- 把实轴$bb(R)$想象成一根金属杆

- 把$p \( x \)$想象成金属杆的密度, 那么$E \( X \)$是重心的位置

- 把$g \( X \)$想象成金属杆的变形

- 那么$g \( X \)$的数学期望是新的金属杆的重心的位置, 因而
  $ E \[ g \( X \) \] = integral_(- oo)^oo g \( x \) dot.op p \( x \) d x $

---

#block[
设离散随机变量$X$的分布列为

#figure(
  align(center)[#table(
    columns: 4,
    align: (center,center,center,center,),
    table.header([$X$], [-2], [1], [2],),
    table.hline(),
    [$P$], [0.1], [0.6], [0.3],
  )]
  , kind: table
  )

求$E \( X^2 - 3 \)$.

]
解:
$ E \( X^2 - 3 \) = \[ \( - 2 \)^2 - 3 \] times 0.1 + \( 1^2 - 3 \) times 0.6 + \( 2^2 - 3 \) times 0.3 = - 0.8 . $

---

全体随机变量构成线性空间, 数学期望是这个线性空间上的线性函数:

- $E \( c \) = c$

- $E \( a X \) = a dot.op E \( X \)$

- $E \[ g_1 \( X \) plus.minus g_2 \( X \) \] = E \[ g_1 \( X \) \] plus.minus E \[ g_2 \( X \) \]$

== 例题
<例题>
受特朗普政策影响，某公司销售的产品在下个月的市场需求量$X$（单位：台）预期服从$\( 0 \, 400 \)$上的均匀分布。每售出$1$台产品，公司可获利$1500$元；若积压$1$台产品，则公司损失$500$元。问公司应该向工厂订购多少台产品，可使平均收益最大？

== AI生成的解答
<ai生成的解答>
要使平均收益最大，公司应向工厂订购*300台*产品。

这个问题的核心是通过确定最优订购量，平衡"缺货损失潜在利润"和"积压造成直接损失"，本质是求解均匀分布下的最优库存问题。

\#\#\# 1. 核心变量与收益公式

首先明确问题中的关键变量和收益计算逻辑
---

- *订购量*：设为 $Q$（单位：台），这是需要求解的未知量。
- *市场需求量*：$X tilde.op U \( 0 \, 400 \)$，即 $X$ 在 0 到 400之间均匀分布，其概率密度函数为$f \( x \) = 1 / 400$（$0 lt.eq x lt.eq 400$）。
- *收益规则*：
  - 当需求 $X gt.eq Q$ 时：产品全部售出，收益为$1500 Q$（无积压，无缺货损失）。 
  - 当需求 $X < Q$ 时：仅售出 $X$台，积压 $Q - X$ 台，收益为$1500 X - 500 \( Q - X \) = 2000 X - 500 Q$。

---

\#\#\# 2. 平均收益（期望收益）的计算

平均收益即收益的数学期望
$E \[ R \( Q \) \]$，需根据需求与订购量的关系分两段积分计算：
$ E \[ R \( Q \) \] = integral_0^Q \( 2000 x - 500 Q \) dot.op 1 / 400 d x + integral_Q^400 1500 Q dot.op 1 / 400 d x $
通过积分计算（过程略），可化简为：
$ E \[ R \( Q \) \] = - 2.5 Q^2 + 1500 Q $

\#\#\# 3. 求解最优订购量 期望收益 $E \[ R \( Q \) \]$ 是关于 $Q$
的二次函数，且二次项系数为负（$- 2.5 < 0$），函数图像为开口向下的抛物线，其最大值出现在顶点处。

对于二次函数 $a x^2 + b x + c$，顶点横坐标为
$x = - frac(b, 2 a)$，代入公式得：
$ Q = - frac(1500, 2 times \( - 2.5 \)) = 300 $

即当订购量 $Q = 300$ 台时，平均收益达到最大值。

\#\#\# 4. 验证：最优订购量的直观逻辑
从概率角度看，最优订购量满足"需求不超过 $Q$ 的概率 = 单位利润
\/（单位利润 + 单位积压损失）"，这一规律称为"边际分析准则"： 
- 单位利润（售出1台获利）：$1500$ 元
- 单位积压损失（积压1台亏损）：$500$元
- 临界概率：$frac(1500, 1500 + 500) = 0.75$

对于 $X tilde.op U \( 0 \, 400 \)$，需求不超过 $Q$ 的概率为
$Q / 400$，令其等于 0.75，解得
$Q = 400 times 0.75 = 300$，与前文计算结果一致。

== 课堂练习
<课堂练习>
某抽卡手游使用伪随机数来设计抽卡机制, 但程序代码并不公开,
只是公开了抽卡概率. 为了检查其公示概率是否真实, 有人做了个网站收集数据.
下面是在一个每五次抽卡必出四星的卡池中, 玩家第一次抽到四星的抽数统计:

#figure(
  align(center)[#table(
    columns: 6,
    align: (center,center,center,center,center,center,),
    table.header([第一次抽到四星时累计抽数], [1], [2], [3], [4], [5],),
    table.hline(),
    [出现数], [18000], [16000], [15000], [26000], [105000],
  )]
  , kind: table
  )

求第一次抽到四星时累计抽数的数学期望.

